MODEL ARCH/GARCH

Perilaku “volatile” dalam pasar finansial biasanya dirujuk sebagai “volatilitas”. Volatilitas telah menjadi konsep yang penting dalam teori dan praktek finansial, seperti managemen risiko, pemilihan portofolio dan sebagainya. Dalam kajian secara statistik, biasanya diukur menggunakan variansi atau standar deviasi. Engle (1982) telah berhasil mengembangkan suatu model volatilitas untuk data runtun waktu finansial yang dikenal dengan model Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH). Sedangkan Bollerslev (1986) telah mengembangkan model volatilitas yang lebih fleksibel yang dikenal sebagai Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH).

A. Model ARCH

Jika r_t merupakan runtun waktu stasioner, misalnya return finansial, maka r_t dapat dinyatakan sebagai meannya ditambah suatu white noise, apabila tidak terdapat autokorelasi yang signifikan dalam r_t itu sendiri, yaitu:

r_t = µ_t + a_t dengan µ_t merupakan mean proses r_{t (1)}

a_t = σ_tv_t dengan v_t ~ N(0,1).

Untuk melihat pengelompokan volatilitas (volatility clustering) atau conditional heteroscedasticity, diasumsikan bahwa Var_t-1(a_t) = σ_t² dengan Var_t-1(•) menyatakan variansi bersyarat dengan diberikan informasi pada saat (t-1), dan

(2)

Karena a_t mempunyai mean 0 maka , sehingga persamaan (2) dapat ditulis sebagai (3) dengan
merupakan white noise dengan mean 0. Model (1) dan (2) disebut dengan model ARCH dari Engle (1982).

B. Model GARCH

Jika uji efek ARCH signifikan untuk suatu runtun waktu, maka model ARCH dapat diestimasi dan sekaligus diperoleh estimasi volatilitas σ_t berdasarkan informasi masa lampau. Dalam praktek sering diperoleh banyaknya lag p yang cukup besar, sehingga banyaknya parameter yang diestimasi dalam model juga cukup besar. Bollerslev (1986) dan Zivot & Wang (2002) mengusulkan model yang lebih parsimonius menggantikan model AR persamaan (3) dengan formulasi berikut.

(4)

dengan semua koefisien α_i > 0 (i=0,1, … , p) dan β_j > 0 (j=1, … , p) untuk menjamin bahwa variansi bersyarat σ_t² selalu positif. Persamaan (4) bersama dengan (1) dikenal sebagai model generalized ARCH atau GARCH(p,q). Dari persamaan (4), jika β_j > 0 , (j=1, … , q) maka model GARCH menjadi model ARCH.

C. Membangun Model Volatilitas

Untuk membangun suatu model volatilitas dalam data return aset, dilakukan dengan empat tahapan sebagai berikut (Tsay, 2005):

1. Menentukan persamaan rata-rata (mean) data runtun waktu (misalnya model ARMA / ARIMA).
2. Gunakan residual dari persamaan rata-rata untuk uji efek ARCH.
3. Menentukan model volatilitas jika efek ARCH secara statistik signifikan, dan melakukan estimasi secara serentak persamaan rata-rata dan persamaan volatilitas.
4. Melakukan uji diagnostik untuk menentukan kesesuaian (kecocokan) model.

D. Pengujian efek ARCH

Sebelum mengestimasi model ARCH untuk runtun waktu finansial, biasanya dilakukan pengujian terhadap adanya efek ARCH dalam residual. Jika tidak terdapat efek ARCH dalam residual, maka model ARCH tidak diperlukan. Karena model ARCH dapat dinyatakan sebagai model AR dalam komponen residual kuadrat seperti persamaan (3), pengujian Lagrange Multiplier (LM) sederhana untuk efek ARCH dapat dikonstruksikan pada persamaan regresi (3).

Hipotesis nol : tidak terdapat efek ARCH : α₁ = α₂ = … = α_p = 0.

Statistik uji : LM= TR² ~ χ²(p),

dengan T: ukuran sampel dan dihitung dari regresi (3) menggunakan residual.

E. Identifikasi Model

Model ARCH(p) dapat dipandang sebagai model AR(p) untuk residual (inovasi) kuadrat a_t². Oleh karena itu, untuk mengidentifikasi model ARCH(p) dapat dilakukan sebagaimana mengidentifikasi model AR(p) untuk residual kuadrat a_t². Pertama, memastikan bahwa data residual kuadrat a_t² adalah stasioner melalui uji stasioneritas, yakni menggunakan statistik uji -rasio dan uji statistik Ljung dan Box. Kedua, metode yang biasa digunakan untuk mengidentifikasi model AR(p) adalah melalui correlogram dari data residual kuadrat a_t², yaitu melalui ACF dan PACF. Jika koefisien ACF menurun secara perlahan (eksponensial), dan koefisien PACF menurun dratis (spiked) atau cutts off pada kelambanan (lag) ke-p, maka diidentifisikasi bahwa modelnya adalah AR(p) untuk data residual kuadrat a_t² atau model ARCH(p) (Tsay, 2005).

F. Estimasi Model

Untuk melakukan estimasi model ARCH(p) salah satunya dapat dilakukan dengan metode maximum likelihood estimation (MLE).

G. Uji Diagnostik

Setelah mendapatkan estimator model ARCH(p), selanjutnya perlu dilakukan uji diagnostik. Tujuannya untuk melihat apakah model yang dipilih mampu menjelaskan data residual kuadrat dari model rata-rata dengan baik. Uji diagnostik dilakukan terhadap data residual u_t dari model ARCH(p) dalam persamaan (3). Uji diagnostik dilakukan dengan tiga bagian: pertama, uji efek ARCH terhadap data residual kuadrat u_t² ; kedua, uji white noise terhadap residual u_t ; dan ketiga, uji asumsi normalitas data residual u_t (Tsay, 2005).

Pertama, uji efek ARCH terhadap residual kuadrat u_t². Tujuan dari uji ini untuk melihat apakah data residual masih mengandung unsur heteroskedastisitas atau tidak. Apabila data residual masih terdapat unsur heteroskedastisitas, maka estimasi model ARCH(p) perlu dilakukan ulang untuk mencari alternatif model ARCH(p) yang lebih baik.

Kedua, uji white noise terhadap data residual u_t . Tujuan dari uji ini adalah untuk melihat apakah residual yang diperoleh relatif kecil dan bersifat acak (white noise) atau tidak. Cara untuk melihat apakah residual bersifat acak adalah dengan menggunakan correlogram, baik melalui ACF maupun PACF. Jika koefisien ACF maupun PACF secara individual tertutup terhadap nol, atau tidak signifikan, maka data residual yang didapatkan adalah bersifat white noise. Jika residual tidak bersifat white noise, maka estimasi model ARCH(p) harus dilakukan ulang untuk mencari alternatif model ARCH(p) yang lebih baik.

Ketiga, uji asumsi normalitas residual u_t . Tujuan uji ini adalah untuk melihat apakah residual u_t berdistribusi normal sesuai dengan asumsi dari model regresi. Uji kenormalan ini salah satunya dapat dilakukan dengan menggunakan quantile-to-quantile plot (QQ-plot). Pada plot kenormalan residual u_t , apabila titik residual u_t yang dihasilkan telah sesuai atau mendekati garis lurus yang ditentukan berdasarkan data (residual) u_t , maka residual u_t dapat dikatakan telah mengikuti distribusi normal (Jondeau et al., 2007; Tsay, 2005).

H. Peramalan (Prediksi)

Peramalan model ARCH diperoleh secara rekursif. Dalam persamaan berikut, parameter dengan topi untuk menyatakan estimasi. Misalkan t waktu permulaan untuk peramalan. Maka, peramalan 1-langkah ke depan untuk σ²_t+1 adalah

di mana â_t residual yang diestimasi. Untuk ramalan 2-langkah ke depan bagi σ²_t+2 , memerlukan ramalan a²_t+1 , ini diberikan oleh σ²_t (1). Oleh karenanya didapat

Ramalan ς-langkah untuk σ²_t+ς adalah

dengan σ²_t(ς – i) = â²_t-k-i jika ς - i ≤ 0 (Tsay, 2005).

I. Macam-Macam MODEL GARCH

• Model GARCH-M

Dalam keuangan, return aset bisa bergantung pada volatilitas ini. Untuk fenomena model demikian, dapat dipandang sebagai model GARCH-M, di mana ’M’ tanda untuk GARCH-in-mean. Model sederhana GARCH(1,1)-M dapat ditulis sebagai

(5)

di mana µ dan c konstanta. Parameter c disebut parameter premi risiko. Suatu c positif mengindikasikan bahwa return berkorelasi secara positif pada volatilitas ini. Spesifikasi lain premi risiko yang juga digunakan dalam literatur, meliputi r_t = µ + cσ²_t + a_t dan r_t = µ + c log(σ²_t) + a_t (Jondeau et al., 2007; Tsay, 2005).

Formulasi model GARCH-M dalam persamaan (5) tersebut mengakibatkan bahwa korelasi serial dalam deret return r_t. Korelasi serial tersebut dihasilkan dengan proses volatilitas {σ²_t}. Eksistensi premi risiko, oleh karenanya, alasan lain bahwa return aset secara historis memiliki korelasi serial (Jondeau et al., 2007; Tsay, 2005).

• Model IGARCH

Sebagai contoh, model IGARCH(1,1) dapat ditulis sebagai

(6)

di mana {ε_t} barisan variabel acak iid normal dengan rata-rata nol dan variansi satu, ω₀ ≥ 0, dan 0< β₁ <1 (Tsay, 2005).

• Model FIGARCH

Menurut Jondeau et al. (2007), bahwa model FIGARCH secara empiris merupakan model volatilitas long memory dalam pasar finansial. Untuk menunjukkan sifat-sifat volatilitas long memory dalam pasar finansial, Baillie, Bollerslev & Mikkelsen pada tahun 1996 memperluas model IGARCH dengan mengganti operator diferensi pertama (1 - B) oleh operator diferensi fraksional (pecahan) (1 – B)^d dengan -0,5 < d < 0,5 dan dikembangkan model FIGARCH(p,d,q) sebagai berikut:

(7)

Jelaslah, bahwa model FIGARCH adalah merupakan model GARCH dan IGARCH khusus dalam kasus berturut-turut untuk d = 0 dan d = 1. Secara umum persamaan variansi model FIGARCH(p,d,q) adalah

(8)

di mana (1 – B)^d dapat ditunjukkan oleh perluasan deret Maclaurin

(9)

jika k besar, koefisien dalam polinomial tak berhingga di atas menurun secara hiperbolik (Tsay, 2005).

J. Model GARCH Asimetri

Model GARCH memungkinkan menangkap clustering volatilitas dan juga beberapa banyak fat-tailedness. Oleh karena itu, dalam model, positif atau negatif memiliki nilai lebih efek simetri pada variansi bersyarat. return negatif ”bad news” cenderung diikuti oleh peningkatan lebih besar dalam volatilitas dibandingkan return positif ”good news” (Jondeau et al., 2007).

Serangkaian parameterisasi diperkenalkan untuk menangkap asimetri demikian dalam merespon volatilitas pada shocks. Beberapa di antaranya yang dibahas di sini adalah model Exponential GARCH (EGARCH) dan Threshold GARCH (TGARCH).

• Model EGARCH

Untuk menanggulangi beberapa kelemahan model GARCH dalam menangani permasalahan runtun waktu finansial, merujuk Jondeau et al. (2007) bahwa Nelson pada tahun 1991 memperkenalkan model EGARCH. Salah model EGARCH(m,s) adalah

(10)

Di sini a_t-1 positif berkontribusi pada log volatilitas, sedangkan a_t-1 negatif memberi , di mana . Jadi parameter γ_i berarti efek pengaruh a_t-1. Lagi, diharapkan γ_i akan negatif dalam aplikasi nyata (Tsay, 2005; Ender, 2004).

• Model TGARCH

Model volatilitas lainnya yang biasa digunakan untuk menghandel efek tak simetri adalah model Threshold GARCH (atau TGARCH). Model TGARCH(m,s) mengasumsikan berbentuk

(11)

di mana N_t-i indikator untuk a_t-i negatif, yaitu

dan α_i , γ_i , dan β_j parameter tak negatif yang memenuhi kondisi yang sama pada model GARCH. Dari model tersebut, terlihat bahwa a_t-i positif berkontribusi α_ia²_t-i pada σ²_t-i , sedangkan a_t-i negatif memiliki pengaruh sebesar (α_i + γ_i) a²_t-i dengan γ_i > 0. Model menggunakan nol sebagai threshold untuk pengaruh secara terpisah shocks masa lalu. Nilai threshold dapat juga digunakan untuk konsep umum model threshold (Jondeau et al., 2007; Tsay, 2005).

References:

• Bollerslev, T. , Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity, Journal of Econometrics, 31, 1986, pp.307-327.
• Engle, R. F., Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of Variance Uni-ted Kingdom Inflation, Econometrica, Vol. 50, No.4. , 1982, pp. 987-1007.
• Tsay, Analysis of Financial Time Series, second Edition, Wiley Interscience, A John Wiley and Sons. Inc. Publication, USA, 2005.
• Wei, W.W.S., Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods, Second Edition, Pearson Education Inc. Boston, 2006.